Tilman
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<title>Vollständige Induktion</title>
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</head>
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<span id="menu"><a href="index.php">zurück zur Liste</a></span>
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</form>
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<h1>Vollständige Induktion</h1>
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Das Beweisen der Aussage A(n) durch vollständige Induktion wird in folgende Schritte eingeteilt:<br><br>
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<b>Induktionsanfang</b> A(0)<br>
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Wenn der Induktionsanfang abgesichert ist, dann weiß man, daß die Aussage für ein bestimmtes n (meistens nimmt man 0 oder 1) stimmt.
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<br><br>
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<b>Induktionsvoraussetzung</b> A(n)<br>
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ist die eigentliche Aussage, bei der wir für die folgenden Schritte annehmen, dass sie stimmt.
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<br><br>
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<b>Induktionsbehauptung</b> A(n+1)<br>
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müssen wir im nächsten Schritt beweisen, damit wir wissen, dass die Aussage wahr ist.
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<br><br>
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<b>Induktionsschritt</b> Beweis von A(n+1) durch A(n)<br>
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Hier formen wir die Formel A(n+1) so um, dass wir A(n) einsetzen können und eine wahre Aussage entsteht.
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<br><br><br>
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<b>Verdeutlichung an einem simplen Beispiel:</b><br>
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Eine natürliche Zahl n heißt geraden wenn n = 2x und ungerade, wenn n = 2x + 1, wobei x ∈ N. Wir beweisen, dass eine natürliche Zahl n entweder gerade oder ungerade sein muss.<br><br>
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<table>
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<tr>
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<td><b>Induktionsanfang</b></td>
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<td>A(0): 0 ist gerade ∨ 0 ist ungerade, da 2⋅0 = 2 → 0 ist gerade</td>
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</tr>
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<tr>
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<td><b>Induktionsvoraussetzung</b></td>
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<td>A(n): n ist gerade ∨ n ist ungerade</td>
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</tr>
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<tr>
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<td><b>Induktionsbehauptung</b></td>
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<td>A(n+1): n+1 ist gerade ∨ n+1 ist ungerade</td>
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</tr>
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<tr>
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<td><b>Induktionsschritt</b>
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<td>1. Fall: n ist gerade<br>
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Es gibt ein x ∈ N, so dass n = 2x. Dann ist n+1 = 2x + 1 → n+1 ist ungerade.<br>
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2. Fall: n ist ungerade<br>
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Es gibt ein x ∈ N, so dass n = 2x + 1. Dann ist n+1 = (2x + 1) + 1 = 2x + 2 = 2⋅(x+1) → n+1 ist gerade.<br>
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</td>
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</tr>
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</table>
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<h2>Links</h2>
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<a href="http://www.fh-wedel.de/~si/seminare/ws03/Ausarbeitung/4.listen/listen3.html">Beweis von <b>rev (rev xs) = xs</b></a>
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</body>
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</html> |